То же самое можно сделать и с геометрией Лобачевского - а именно, выбросить из неё расстояния и углы. Тогда из основных понятий геометрии Лобачевского останется следующее: точка, прямая, отношение между точкой и прямой ("точка лежит на прямой"), отношение порядка между тремя точками A,B,C, лежащими на одной прямой ("точка B лежит между A и C"), отношения между двумя прямыми: "прямые пересекаются", "прямые расходятся", "прямые параллельны в такую-то сторону" (в какую сторону - это задаётся парой точек на прямой).
Оставшиеся понятия (т. е. метрика) выражаются через перечисленные выше. Чтобы доказать это, достаточно показать, что разделить произвольный угол пополам (т. е. провести биссектрису) можно путём построения, использующего только вышеприведённые понятия. Это будет показано в приложении. Пользуясь этим построением, можно сделать "линейку" и "транспортир", т. е. определить метрику. С "транспортиром" всё ясно, а "линейку" (т. е. эталон длины) можно сделать так: построим треугольник, все углы которого равны некоторому фиксированному углу (например, 45 градусов). Так как площадь треугольника однозначно связана с суммой его углов (и, кроме того, площадь равностороннего треугольника однозначно определяет длину его стороны), то этот треугольник можно использовать как эталон длины. Воспользовавшись процедурой проведения биссектрис, можно нанести "деления" на эту "линейку".
Мы сейчас "очистили" основные понятия геометрии Лобачевского от всякой метрики. Что произойдёт от этого с системой аксиом - станет ли она проще? Воспользовавшись моделью Клейна, мы увидим, что введённые здесь основные понятия геометрии Лобачевского сводятся к понятиям проективной геометрии на плоскости с выделенной окружностью. А именно, точка геометрии Лобачевского переходит в точку, лежащую внутри окружности, прямая Лобачевского - в прямую, пересекающую окружность, параллельные прямые Лобачевского - в прямые, пересекающиеся на окружности, расходящиеся прямые Лобачевского - в прямые, пересекающиеся вне окружности, и т. д.
Так что аксиоматика "геометрии Лобачевского без метрики" сводится к аксиоматике проективной геометрии с выделенной окружностью. Чтобы включить "выделенную окружность" в аксиоматику проективной геометрии, вводим новое отношение: "точка лежит на выделенной окружности", и новые аксиомы:
"На выделенной окружности лежит не менее пяти точек",
"Если пять точек A,B,C,D,E лежат на выделенной окружности и попарно различны, то точка F, не совпадающая ни с одной из них, лежит на выделенной окружности тогда и только тогда, когда следующие три точки лежат на одной прямой:
точка пересечения прямых AB и DE,
точка пересечения прямых BC и EF,
и точка пересечения прямых CD и FA."
(Эта аксиома по сути является теоремой Брианшона, или Паскаля - не помню точно.)
Теперь, чтобы завершить построение "геометрии Лобачевского без метрики", укажем ещё, что некоторые понятия "проективной геометрии с выделенной окружностью", не переносимые очевидным образом в геометрию Лобачевского, тем не менее могут быть интерпретированы в терминах геометрии Лобачевского. Так, например, три попарно расходящиеся (в смысле Лобачевского) прямые могут пересекаться в одной точке в смысле проективной геометрии. Как этот факт интерпретировать в терминах Лобачевского? Можно, например, воспользовавшись теоремой Дезарга, сказать так:
Пусть три прямые a,b,c попарно расходятся. Тогда слова "прямые a,b,c пересекаются в одной точке в смысле проективной геометрии" означают, что найдутся такие шесть прямых d,e,f,g,h,i, что следующие тройки прямых пересекаются каждая в одной точке (в смысле Лобачевского): {d,e,f}, {g,h,i}, {a,d,g}, {a,e,h}, {b,e,i}, {b,f,g}, {c,f,h}, {c,d,i}.
Наконец, приложение: как разделить заданный угол пополам. Пусть дан угол AOB. Проведём прямую a, параллельную прямым BO и OA, и прямую b, параллельную прямым AO и OB. (Здесь, говоря "прямая, параллельная OA", мы подразумеваем "прямая, параллельная прямой OA в сторону OA".) Выберем произвольно точку X внутри треугольника, образованного прямой b и точкой O. Проведём прямую c=OX и ещё две прямые d и e через точку X так, чтобы они пересекали прямую a по разные стороны от прямой c. Обозначим через
Y1 точку пересечения прямых a и d,
Y2 - точку пересечения a и c,
Y3 - точку пересечения b и e,
Y4 - точку пересечения b и d.
Проведём прямые Y2Y3 и OY4; они пересекутся в некоторой точке Z. Теперь проведём прямую Y1Z; она пересечёт прямую e в некоторой точке C. Прямая OC и есть искомая биссектриса угла AOB.
(Как это доказать? Воспользуемся моделью Клейна. Прежде всего, поместим вершину O в центр круга, символизирующего плоскость Лобачевского, - это всегда можно сделать посредством проективного преобразования. Когда O находится в центре круга, то биссектриса угла AOB в смысле Лобачевского совпадает с биссектрисой в евклидовом смысле. Кроме того, прямые a и b параллельны (в евклидовом смысле) друг другу и биссектрисе, - таким образом, три прямые - a, b и биссектриса - пересекаются в одной точке в смысле проективной геометрии. Переводя это утверждение на язык геометрии Лобачевского (методом, изложенным перед приложением), получим наше построение.)
Отметим, что данным методом нельзя делить пополам угол, равный 180 градусам. Это ограничение, впрочем, не влияет на возможность построения "транспортира". Чтобы построить угол, равный 90 градусам, можно провести биссектрисы к двум смежным углам, составляющим в сумме 180 градусов; угол между этими биссектрисами будет 90 градусов.
Ещё примечание. С точки зрения метрики Лобачевского утверждение "три попарно расходящиеся прямые a,b,c пересекаются в одной точке в смысле проективной геометрии" означает попросту, что прямые a,b,c имеют общий перпендикуляр. Так что точки проективной плоскости, лежащие вне круга, можно интерпретировать как прямые Лобачевского, и тогда утверждение "прямая a (пересекающая окружность) проходит через точку A (лежащую вне круга)" будет означать в смысле геометрии Лобачевского, что прямая a и прямая, соответствующая A, перпендикулярны. Эту тему можно развивать и далее: например, сказать, что прямые проективной плоскости, не пересекающие нашу окружность, соответствуют точкам Лобачевского, и т. д.
И ещё. Если мы имеем выход в проективную плоскость, т. е. можем продолжать расходящиеся прямые за пределы круга до пересечения, соединять произвольные точки (вне или внутри круга) прямыми, проводить касательные к окружности из данной её точки, то очень упрощается построение эталона длины, биссектрисы данного угла и перпендикуляра к данной прямой. Делается это так:
1) Построение перпендикуляра. Пусть дана прямая a и точка A на ней, и требуется восстановить перпендикуляр к прямой a в точке A. Обозначим через B и C точки пересечения прямой a с главной окружностью. Проведём касательные к окружности через точки B и C; они пересекутся в некоторой точке D. Прямая AD и есть искомый перпендикуляр.
2) Построение биссектрисы. Пусть дан угол, образованный прямыми a и b, с вершиной в точке O - точке пересечения прямых a и b, - и требуется построить биссектрису этого угла. Обозначим одну из двух точек пересечения прямой a с окружностью буквой A и одну из двух точек пересечения прямой b с окружностью буквой B, так чтобы угол AOB был тем самым углом, в котором нужно провести биссектрису. Проведём касательные к окружности через точки A и B; они пересекутся в некоторой точке P. Прямая OP и будет искомой биссектрисой.
3) Построение эталона длины. Пусть дана точка A и прямая a, проходящая через неё, и требуется построить отрезок AB, лежащий на прямой a, с длиной, равной эталону длины. Воспользовавшись приведёнными выше методами построения перпендикуляров и биссектрис, проведём через точку A две прямые p и q под углами 45 градусов к прямой a. Обозначим одну из двух точек пересечения прямой p с окружностью буквой P и одну из двух точек пересечения прямой q с окружностью буквой Q, так чтобы прямая PQ пересекала прямую a внутри круга. Точку пересечения прямых PQ и a обозначим буквой B. Отрезок AB и будет искомым эталоном длины.
Можно определить эталон длины и по-другому (конечно, это определение не будет совпадать с приведённым выше): отрезок AB представляет собой эталон длины, если точки A, B и две точки пересечения прямой AB с главной окружностью представляют собой гармоническую четвёрку. Так как построение четвёртой гармонической точки к трём заданным можно осуществить средствами проективной геометрии (и даже не выходя за пределы круга, обозначающего плоскость Лобачевского, т. е. средствами "геометрии Лобачевского без метрики"), то это определение тоже можно использовать для введения метрики.