Общая теория относительности - самая красивая физическая теория. (Это сказали Ландау с Лифшицем.) Однако сам Эйнштейн в 1949 году отметил, что есть в ней некоторая логическая непоследовательность:
"Можно заметить, что теория вводит (помимо четырёхмерного пространства) два рода физических предметов, а именно: 1) масштабы и часы, 2) всё остальное, например электромагнитное поле, материальную точку и т. д. Это в известном смысле нелогично; собственно говоря, теорию масштабов и часов следовало бы выводить из решений основных уравнений (учитывая, что эти предметы имеют атомную структуру и движутся), а не считать её независимой от них" (т. IV, с. 280).
(Правда, Эйнштейн говорит здесь о специальной теории относительности.)
Ещё один не вполне приятный момент в ОТО - это сингулярности, которые иногда возникают в решениях и иногда оказываются "нефизическими" (связанными с неудачным выбором системы координат), а иногда - "физическими" (неустранимыми). Что касается "нефизических" сингулярностей, то неясно, как же изначально выбирать систему координат, чтобы не вылезали (ни с того ни с сего) такие сингулярности. Если же вдруг решение уравнений ОТО содержит "физическую" сингулярность, то вообще непонятно, как это расценивать. Эйнштейн, например, считал, что решения, содержащие неустранимые сингулярности, вообще не имеют права на существование. Но, во всяком случае, приходится в дополнение к уравнениям ОТО вводить какие-то правила, регламентирующие сингулярности, а это значит, что теряется цельность системы исходных постулатов теории.
Тут, наверное, уместно будет вспомнить высказываеие Римана, относящееся к 1854 году: "Если в случае дискретного (прерывного) многообразия основание определения меры заключается уже в самом понятии этого многообразия, то для непрерывного оно должно прийти извне. Поэтому то реальное, что лежит в основании пространства, или должно составлять дискретное многообразие, или же основания определений меры, должно быть разыскиваемо вне многообразия, в действующих и связывающих его силах" (цитирую по книге Флоренского "Анализ пространственности и времени в художественно-изобразительных произведениях"). Так что метрика пространства-времени не очень-то может претендовать на роль основного понятия в ОТО.
В общем, всё это наводит на мысль: нельзя ли построить ОТО без часов и линеек, без систем координат и без дифференциальных уравнений?
Выбросим всё перечисленное выше и оставим вот что: четырёхмерный континуум событий (топологическое пространство с размерностью 4) и траектории световых лучей в нём. Чтобы задать траектории световых лучей, достаточно для каждой пары событий (A,B) указать, придёт ли световой сигнал, стартующий из события A, в событие B. Это отношение на множестве событий (обозначим его A->B) должно удовлетворять некоторым более или менее очевидным аксиомам. (Например, для любых четырёх событий A,B,X,Y из A->B, A->X, X->B, A->Y, Y->B следует, что либо X->Y, либо Y->X.)
Чтобы построить исходя из одних только световых лучей общую теорию относительности, необходимо ответить на следующие вопросы:
* Как отличить плоское 4-пространство от искривлённого?
* Как найти метрику и кривизну пространства?
* Как получить траектории (пробных) частиц ненулевой массы?
* Как выразить "на языке световых лучей" уравнения ОТО? (хотя бы только для пустого пространства, т. е. для T_ik=0)
* Можно ли описать на этом языке электромагнитное поле? (может быть, посредством траекторий заряженных частиц с разным отношением заряд/масса)
Если удастся получить положительные ответы на все эти вопросы, то получим, во-первых, наиболее простую форму основных положений ОТО, не содержащую ничего лишнего, и, во-вторых, новый язык теории относительности (из которого, может быть, возникнут новые методы нахождения решений, доказательства общих теорем, ...) Для замкнутости теории, впрочем, нужно будет создать "теорию световых сигналов" и показать, что отношение A->B, положенное в основание теории, действительно означает возможность распространения сигнала от события A к событию B. Но это гораздо проще, чем построить "теорию часов и линеек", так как "теория световых сигналов" - это просто электродинамика, а "теория часов и линеек", как минимум, должна включать в себя квантовую механику (часы и линейки состоят из атомов!).
А пока что попытаемся ответить хотя бы на первый вопрос, т. е. дать необходимый и достаточный критерий того, что 4-пространство плоское. Пока что у нас есть только необходимое условие, причём даже не ясно, является ли оно также и достаточным. Выглядит оно так:
(Пусть "A->B->C" обозначает "A->B, B->C и A->C".)
Если события A,B,C,D,E,F,G,H удовлетворяют условиям:
A->E->C, C->G->B, A->F->D, D->H->B, E->H, F->G,
то найдётся такое событие X, что E->X->H и F->X->G.
(Необходимость следует из того, что, в случае плоского пространства, все события A...H располагаются на поверхности некоторого однополостного гиперболоида, причём световые лучи E-H и F-G являются двумя образующими этого гиперболоида, принадлежащими к разным семействам образующих, а значит они должны пересекаться.)